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Aus der Neuen Solidarität Nr. 33-34/2003

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Einleitung

Der Schritt zu den komplexen Zahlen

Mit dem folgenden Artikel von Patrick Grete setzen wir in Heureka die Überlegungen darüber fort, was wir von Gauß lernen können. Jonathan Tennenbaum hatte bereits in einem ersten Artikel erklärt, daß der "empirische" Zahlenbegriff, wonach die Zahlen nur aus der "sinnlichen Wahrnehmung" gewonnene Abstraktionen sind, falsch ist, und daß Zahlen in Wirklichkeit Ideen sind, deren Wesen es ist, der menschlichen Vernunft eine wachsende Macht über das sichtbare Universum zu verleihen.

Wie sich die Idee der Zahlen im schöpferischen Denkprozeß des Menschen weiterentwickelt, wurde am Beispiel der Verdoppelung des Quadrates gezeigt, welches Platon in seinem Menon-Dialog verwandte und am Problem der Verdoppelung des Würfels. Geometrisch können diese Zahlen konstruiert werden, obwohl die Wurzel von 2 zu den Zahlen 1 und 2 inkommensurabel ist und somit im Sinne der Zahl als "Vielheit" eine "unmögliche" Zahl ist.

In einem zweiten Artikel hat Jonathan Tennenbaum den Ursprung der Algebra aufgezeigt, wobei man bald Symbole für die Quadratwurzeln und Kubikwurzeln von Variablen einführte. Als in den Rechnungen bisweilen Wurzeln von negativen Zahlen auftraten, wurden diese als "unmöglich" angesehen und von Euler als "imaginäre" Zahlen bezeichnet. Gauß vollzog in dieser Situation den entsprechenden Schritt, den der Knabe im Menon-Dialog bezüglich der Verdoppelung des Quadrats tat, er erweiterte die Idee der Zahlen zum Konzept der komplexen Zahlen.

Im folgenden Artikel legt Patrick Grete anhand der Diskussion über den berühmten "Fundamentalsatz der Algebra" dar, wie es Gauß mit der Idee der komplexen Zahlen gelang, über seine Vorgänger hinauszugehen und einen neuen Maßstab für Wahrheit zu etablieren. In der nächsten Ausgabe von Heureka! wird dann ein Artikel von Ralf Schauerhammer Gauß' Beweis des Fundamentalsatzes darstellen, um den "mathematischen Appetit" des Lesers möglichst so anzuregen, daß er Gauß' Arbeiten selbst zur Hand nimmt.